Universitaet Karlsruhe

Mathematisches Institut II - Lehrstuhl Prof. Dr. C.-G. Schmidt

Algebra

Einen guten ersten Einblick in die Algebra erhält man durch Beschreibung ihrer Grundstrukturen.

Die Grundstrukturen der Algebra sind Gruppen, Ringe und (als Sperialfall hiervon) Körper. Sie werden schon in der Linearen Algebra eingeführt, und ihre grundlegenden Eigenschaften sind Gegenstand der Algebra-I-Vorlesung, die ihren Höhepunkt im Hauptsatz der Galoistheorie findet. Dieser stellt eine enge Verknüpfung der Grundstrukturen dar und war auch historisch für die Entwicklung der Algebra wichtig. Ausgangspunkt dabei war die Frage nach einer geschlossenen Formel für die Nullstellen eines beliebigen Polynoms. Die Nullstellen von x2 + bx + c sind bekanntlich gegeben als (-b +/- (b2-4c)1/2)/2. Auch für Polynome vom Grad 3 oder 4 gibt es solche Lösungsformeln. Dass es solch eine Formel ab Grad 5 nicht mehr gibt ist eine Konsequenz aus besagtem Hauptsatz und aus der Tatsache, dass die Gruppe A5 sich nicht in kleinere Gruppen "zerlegen" lässt, sondern einfach (im Sinne von atomar) ist.

Gruppen sind das zentrale Mittel, um Symmetrien zu beschreiben. Von daher spielen sie auch außerhalb der Algebra eine große Rolle. Zum Beispiel bedeutet der Satz "Auf die Reihenfolge kommt es nicht an", dass eine Problemstellung invariant unter einer Aktion der symmetrischen Gruppe ist. Aus Geometrie, Physik und Chemie ist der Begriff der Gruppe nicht wegzudenken (schon in der Schule lernt man die Gruppe aller Kongruenzabbildungen der Ebene kennen, auch wenn diese nicht so genannt wird). Separationsansätze in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen nutzen Symmetriegruppen.

Unabhängig davon entwickelte die Gruppentheorie eine Eigendynamik. Sie zählt nach wie vor zu den aktiven Forschungsdisziplinen der Algebra.

Auch die Ringtheorie erhält ihre Existenzberechtigung zum Teil aus ihrer Bedeutung für andere Disziplinen. Neben der algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie denke man etwa an die Funktionalanalysis (C*-Algebren) oder an die Funktionentheorie (Ringe holomorpher Funktionen). Der Begriff des Moduls ist eine Verallgemeinerung des Vektorraumbegriffes, wobei man als Skalarbereich einen Ring zulässt. Zum Beispiel ist die relativ neue Theorie der algebraischen D-Moduln ein algebraischer Ansatz, um Differentialgleichungen zu behandeln. Mit Differentialalgebra befasst sich in Karlsruhe vor allem Dr. Rehm.

In algebraischer Hinsicht ist die Modultheorie entstanden aus Fragen nach der Lösungstheorie ganzzahliger linearer Gleichungssysteme. In der kommutativen Algebra behandelt man Fragen nach der Struktur- und Modultheorie kommutativer Ringe, wobei hier eine Geometrisierung der algebraischen Fragen für ganz neue Einsichten (und Fragestellungen) gesorgt hat.

Da in der Algebra letztlich sehr viele verschiedene Typen von Strukturen mit jeweils eigenen sinnvollen Abbildungen dazwischen von Bedeutung sind, hat es sich als fruchtbar erwiesen, diese Situation selbst konzeptionell zu formalisieren. Es entstand die Kategorientheorie, die heute ein wesentliches sprachliches Mittel in der Algebra, aber auch darüber hinaus, ist. Ein wichtiges Beispiel ist die algebraische Topologie, in der man jedem topologischen Raum gewisse "algebraische Invarianten" zuordnet. Die Theorie ist so angelegt, dass zwei Räume nur dann homöomorph (also "topologisch gleich") sein können, wenn die zugehörigen algebraischen Invarianten zueinander isomorph sind. Das wiederum ist oft viel leichter zu überprüfen als die ursprüngliche topologische Frage. Ein Beispiel hierfür ist der Ring der lokalkonstanten Funktionen auf dem Raum X. In "guten" Fällen ist dies ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, und die Dimension ist die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von X.

Für weitere Informationen stehen Ihnen Prof. Dr. C.-G. Schmidt, Prof. Dr. Frank Herrlich, und Dr. Stefan Kühnlein gerne zur Verfügung.

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zuletzt geändert im Mai 2001